----------------------------------- catalin dumitru 02 Ian 2023 16:00 "e"sau "pi" ? ----------------------------------- După ce am luat o gură de cafea din cana soției , mi s-au deschis "ciacrele" :D . Așadar : suma dintre o fracție și inversa ei , este cu atât mai apropiată de 2 , cu cât diferența dintre numărător și numitor este mai mică . Prin urmare, e/pi + pi/e = 2,02098332932...bla ...bla ... , e^pi/pi^e +pi^e/e^pi = 2,0008937301306...etc... acum dacă repetăm figura , (e^pi/pi^e + pi^e/e^pi ) : (e/pi +pi/e) +(e/pi+pi/e) : (e^pi/pi^e + pi^e/e^pi) = 2,0000998058013..... Dacă repetăm schema în continuare, obținem un rezultat și mai apropiat de 2 . Bănuiesc că pentru a obține exact 2 , se ajunge la un fel de fracție infinită , sau pe acolo... voi ați înțeles ceva ? Poate ar trebui să nu mai beau cafea :roll: ----------------------------------- Erwin 03 Ian 2023 17:41 ----------------------------------- Nene Cătălin, astea-s lucruri sfinte! Gen: Oailer like this! :D ----------------------------------- zoth 04 Ian 2023 10:40 ----------------------------------- Omule, nu mai bea cafea, cu siguranță nu-ți face bine! ----------------------------------- catalin dumitru 08 Sep 2023 17:27 ----------------------------------- Am găsit una și mai gogonată :) : [3'√(pi x e)] : (e/pi + pi/e) + (e/pi + pi/e) : [3'√(pi x e)] = 2,000128274..... Din păcate , reziduul 0,000128274... este unul uriaș , iar rădăcinile cubice complică prea mult chestiunea . ----------------------------------- Erwin 08 Sep 2023 18:21 ----------------------------------- Au, noapcea nu vinie! :twisted: ----------------------------------- nobody 08 Sep 2023 19:08 ----------------------------------- Incearca cu pi^(i*e) si cu e^(i*pi) ... ----------------------------------- catalin dumitru 09 Sep 2023 13:00 ----------------------------------- Incearca cu pi^(i*e) si cu e^(i*pi) ... Nobody , ce reprezintă asteriscul ? Dacă e înmulțire , atunci ultima expresie este minus unu , adică șmecheria lui Euler . ----------------------------------- zoth 16 Ian 2026 14:00 ----------------------------------- Am gasit una nostima pt Catalin: Daca: 2^x+3^x=16 si (6^x+4^x)/4^x=2, gasiti-l pe x Solutie propusa: (6^x+4^x)/4^x=2 [(2*3)^x+(2*2)^x]/(2*2)^x=2 (2^x*3^x+2^x*2^x)/2^x*2^x=2 2^x(3^x+2^x)/2^x*2^x=2 (2^x+3^x)/2^x=2 dar 2^x+3^x=16 16/2^x=2 16=2*2^x 8=2^x 2^3=2^x x=3 Solutia x=3 nu verifica nici prima nici a doua ecuatie. Care e duda? ----------------------------------- MariusP 16 Ian 2026 14:45 ----------------------------------- Nu-i același x! X-ul fiind o necunoscută, se pare că e vorba de două necunoscute diferite și nici nu cred că se cunosc între ele... :lol: Dacă mai "compilez" bine, din a doua egalitate ar rezulta că x=0, care evident că nu verifică prima egalitate. :roll: ----------------------------------- catalin dumitru 17 Ian 2026 02:56 ----------------------------------- :) De unde ai scos 16:(2^x)=2 ?! Este corecta substituirea ? Mai mult , prima ecuatie se poate scrie , 2^x+3^x=2^4 ; arata ca o ecuatie care nu are solutie in multimea numerelor reale intregi , ''x'' e undeva mai aproape de 2,215 . ecuatia a doua pare sa nu aiba solutie in ''R'' . O sa verific maine . ----------------------------------- valy 17 Ian 2026 12:19 ----------------------------------- Daca: 2^x+3^x=16 si (6^x+4^x)/4^x=2, gasiti-l pe x L-am pus pe chatgpt sa faca graficele => solutia lui e: x~=2.21 respectiv x=0. Deci, in medie, solutia la problema e undeva x~= 1.105 ;) (vad ca se intersecteaza in (0, 2), poate e o greseala, de redactare, si in loc de 16 era 2?) ----------------------------------- zoth 17 Ian 2026 15:50 ----------------------------------- L-am pus pe chatgpt .. Pai ce facem boss, noi nu mai avem neuron, ii punem pe altii sa ne rezolve problemele? Imi aduc aminte ca pe vremea copilariei eram de-a dreptul fascinat de rapiditatea si precizia cu care faceau mental calculele tantitele de la tejghele cand mergem la cumparaturi ... inutil sa mai spun ca pe vremea aia nu existau telefoane inteligente, computere, calculatoare de buzunar sau case de marcat.. Anii '60 ca sa dau un reper ... Sa inteleg ca intersectia celor doua grafice da valoarea lui x care verifica ambele ecuatii sau ...? Pentru x=0 prima ecuatie nu e verificata: 2^x+3^x=16 2^0+3^0=2 Deci 2=16 :) Istet foc chatgpt-ul asta! Sau nu o fi el de vina ci persoana care la pus sa calculeze altceva ... ----------------------------------- valy 17 Ian 2026 16:36 ----------------------------------- Pai in metoda analitica pe care ai abordat-o mai sus vad ca nu ai avut incredere, asa ca am expus o metoda alternativa, de vizualuzare a celor doua functii Sa inteleg ca intersectia celor doua grafice da valoarea lui x care verifica ambele ecuatii sau ...? ...N-am zis asta, nici chatgpt n-a zis asta. Se vede pe grafic, si e consistent si cu ce au zis colegii mai sus, solutia este x=2.21.. pentru prima, si respectiv x=0 pentru a doua. Dece este nevoie de doua ecuatii pt a-l determina pe x? Nu este suficienta una? Functiile sunt crescatoare. Sau poate nu..? LE: problema imi pare incompleta. As intreba "Pentru cele doua ecuatii, determinati daca exista un x care le verifica simultan. Daca exista, determinati x" ----------------------------------- zoth 17 Ian 2026 18:52 ----------------------------------- problema imi pare incompleta. As intreba "Pentru cele doua ecuatii, determinati daca exista un x care le verifica simultan. Daca exista, determinati x" Probabil ca iti pare incompleta pentru ca nu este enuntata explicit. Implicit este un sistem supradeterminat de doua ecuatii cu o singura necunoscuta iar aceasta necunoscuta ar trebui sa verifice ambele ecuatii in cazul in care sistemul are solutie. ----------------------------------- valy 17 Ian 2026 19:31 ----------------------------------- Abordarea grafica nu este acceptata ca si solutie? (Presupunamd ca graficul e corect. E irelevant ca e facut manual sau cu chatgpt) Pe grafic se vede ca cele doua functii au valori 16 respectiv 2 la x-csi diferiti. Deci raspuns: nu exista un x acelasi pentru care ambele sunt adevarate simultan, deci "gasiti-l pe x" e o intrebare capcana :) Gen: x=1 x=2, gasiti-l pe x! .(2^x+3^x)/2^x=2 dar 2^x+3^x=16 .. .. Implicit este un sistem supradeterminat de doua ecuatii cu o singura necunoscuta ..n cazul in care sistemul are solutie.In cazul asta, oare, ai voie sa substitui pe prima in a doua? Pentru siguranta eu as pune in prima x1 in loc de x, in a doua x2 in loc de x, si asi incerca sa demonstrez ca exista o valoare x1=x2 pentru care ambele sunt adevarate. Deci tot la grafic ajungi :) :) ----------------------------------- zoth 17 Ian 2026 20:20 ----------------------------------- Abordarea grafica nu este acceptata ca si solutie? De ce sa nu fie? in plus e foarte intuitiva dar problema trebuie pusa corect. Intersectia graficelor reprezinta intradevar solutia care verifica ambele ecuatii in forma denaturata care e transcrisa pe desen. Ar fi o idee sa refaci graficele pentru ecuatiile urmatoare: 2^x+3^x -16=0 si (6^x+4^x)/4^x -2=0 Vedem atunci daca mai obtii intersectie sau nu .. Gen: x=1 x=2, gasiti-l pe x Esti neserios, daca e vorba de valori diferite atunci si necunoscutele sunt diferite! ----------------------------------- valy 17 Ian 2026 20:26 ----------------------------------- Pe grafic nu intersectia era subiectul, nu asta m-a interesat ( pur intamplator ele se intersecteaza la x=0, care e fix solutia de la ecuatia 2), ci am vrut sa vad la ce x cele doua functii au valori 16 respectiv 2, si de cate ori. Se observa ca sunt x-si diferiti. Pot sa fac si grafic pentru ce zici tu desi nu e nevoie si nici nu mai pot, ca mi-a expirat nr de incercari pe ziua de azi. ;) Bani nu dau pt versiunea PRO. ----------------------------------- zoth 17 Ian 2026 20:58 ----------------------------------- .. desi nu e nevoie .. De ce sa nu fie nevoie? Eu cred ca problema in felul in care a fost pusa cauta tocmai acea solutie comuna, intersectia celor doua grafice (in caz ca exista), altfel ar fi notat necunoscutele in mod diferit, x1,x2.. x,y.. y,z sau oricum altfel... ----------------------------------- catalin dumitru 17 Ian 2026 21:09 ----------------------------------- Să ne jucăm un pic ... dacă scoatem factor forțat , atunci (6^x+4^x )/4^x devine 4^x(1,5^x+1)/4^x , și de aici , 1,5^x+1=2 ; 1,5^x=2-1; 1,5^x=1 . Rămâne de văzut dacă "0" este singura soluție . ----------------------------------- valy 17 Ian 2026 21:20 ----------------------------------- .. desi nu e nevoie .. De ce sa nu fie nevoie? Eu cred ca problema in felul in care a fost pusa cauta tocmai acea solutie comuna, intersectia celor doua grafice (in caz ca exista), altfel ar fi notat necunoscutele in mod diferit, x1,x2.. x,y.. y,z sau oricum altfel...Asa este. Dar e doar o abordare. Eu am mers pe alta idee: f1(x1)=16 f2(x2)=2 Era mai simplu sa copiez direct din mesajul tau initial decat sa mai fac doua scaderi ( pe tel e greu sa editezi formule), si sa dau paste la chatgpt sa imi faca graficele pt f1 si f2, si sa vad x1 si x2 pentru care functiile dau f1=16 respectiv f2=2. Si se vede ca dau pentru x-si diferiti. In plus graficele cresc, deci nu se mai intorc in 16, 2..sper. Deci pare ca "0" si "2.21.." sunt singurele solutii. Ce-i drept 1.5^x=1 admite mai multe solutii in C, dar prima nu admite decat una, in real. ----------------------------------- nobody 18 Ian 2026 03:12 ----------------------------------- Să ne jucăm un pic ... dacă scoatem factor forțat , atunci (6^x+4^x )/4^x devine 4^x(1,5^x+1)/4^x , și de aici , 1,5^x+1=2 ; 1,5^x=2-1; 1,5^x=1 . Rămâne de văzut dacă "0" este singura soluție . Plus o mica infinitate de complexari: ----------------------------------- Night 24 Ian 2026 01:20 ----------------------------------- Inegalitatea Cauchy-Buniakovski-Schwarz.. (?) merge doar pt numere pozitive, la negative dă greș. -5 + - 1/5 =-5,2 ...