Toate stelele pe care le observam fac parte dintr-un sistem asemanator, ca forma, cu o lentila biconvexa cu diametrul mare de 30 pc (1 parsec = 3,2615 ani-lumina) si cu diametrul mic de 5 parseci. Aceasta “familie” de circa 200 miliarde de stele este cunoscuta sub denumirea de “Calea Lactee”, termen provenit din grecescul galaxios kiklos (cercul de lapte). Galaxia noastra nu este singurul sistem stelar din univers. Sunt cunoscute pâna acum, în universul accesibil observatiilor noastre, câteva miliarde de galaxii.

Studiul distributiei spatiale a acestor galaxii este o problema de actualitate în astrofizica, fiind strâns corelat de aprecierea densitatii medii a materiei în univers, formarea si evolutia structurilor cosmice si a universului în ansamblu. Se cauta, prin acest studiu, validarea si completarea modelelor cosmologice clasice ca si racordarea acestora la datele obtinute în ultima perioada.

I. INTRODUCERE

În baza principiului cosmologic tare conform caruia universul prezinta acelasi aspect din orice punct ar fi privit si în orice directie, studiul distributiei galaxiilor se realizeaza pe esantioane limitate de date, convenabil alese. Astfel de cercetari au aratat, în ultimii 20 de ani, ca, la scara mare, dinamica galaxiilor determina formarea de structuri tip cluster, conectate prin pereti si filamente de galaxii, înconjurând mari goluri lipsite de materie. Topologia acestor structuri sugereaza o distributie fractala caracterizata de autoafinitate cu invarianta la scala si o dimensiune Haussdorf între 1,8 si 2,2. Explicarea evolutiei universului spre structura ierarhizata nu este înca definitivata.

În literatura se urmeaza în general doua cai: prima considera ca structurile la scala mare s-au format prin amplificarea gravitationala a micilor fluctuatii în densitate aparute în perioada timpurie a universului, stimulându-se astfel acretia materiei si formarea structurilor. În sprijinul acestui model pare sa vina spectrul radiatiei de fond care prezinta corelare asemanatoare cu a clusterilor de galaxii. Modelul presupune disipare a energiei prin acretie, caracteristica de baza a evolutiei neliniare însotite de autoorganizare. De asemenea, se considera ca aspectul distributiei materiei se datoreaza retelei de defecte topologice primare ca baza a acumularii de materie prin acretie, fapt care poate fi corelat cu cosmologia bazata pe stringuri cosmice.

A doua teorie are ca baza interactiunea gravitationala si formarea structurilor exclusiv pe aceasta baza, pornind de la o distributie uniforma.

Atragând initial atentia prin gradul mare de neomogenitate, structurile la scala mare au dus, prin studiile ulterioare, la un unghi nou de vedere asupra evolutiei universului. Se considera astazi ca descrierea si modelarea evolutiei acestor structuri poate sa conduca la raspunsuri fundamentale în cosmologie. Problemele la care studiul “scheletului” universului ar putea raspunde sunt:

• stabilirea cu precizie a dimensiunilor structurilor cosmice, si gradului de corelare (prin analiza spectrului de masa si a functiilor de corelatie)
• stabilirea topologiei la scala mare, a morfologiei clusterilor si legaturilor dintre ei (pornind de la caracteristici ca densitatea medie si dimensiune fractala)
• cum depinde topologia structurilor de caracteristicile masurate ale componentelor (tipul si luminozitatea galaxiilor)
• care este dependenta de scala a vitezelor peculiare
• care este parametrul densitatii universului, luând în considerare clusterizarea
• cum evolueaza în timp structurile la scala mare
• ce implicatii are clusterizarea asupra modelelor cosmologice si care este legatura dintre acestea doua.

II. DISTRIBUTIA LA SCARA MARE A MATERIEI LUMINOASE

II.1. Surse de date în astrofizica

Analiza structurilor constituite de galaxii si, la scara mare, de clusteri de galaxii presupune explorarea bazelor de date obtinute în urma observatiilor. Datorita numarului mare de cataloage, parametri si instrumente utilizate, extragerea eficienta a datelor si manipularea lor presupune o adevarata gestiune.

Extragerea datelor reprezinta explorarea si analiza, prin mijloace automate sau semiautomate, a cantitatilor mari de date, în scopul determinarii legitatilor si modelelor structurale semnificative. Se urmareste determinarea tiparelor si relatiilor între date utilizând tehnici de sintetizare a modelelor – reprezentari abstracte ale spatiului fizic real.

Exista doua modalitati principale de extragere a datelor: descriptiva si predictiva.

Modelele descriptive reprezinta tipare structurale în date si sunt utilizate în general pentru construirea grupurilor (clusterilor) semnificativi.

Modelele predictive sunt orientate spre determinarea explicita a valorilor parametrilor caracteristici, pe baza descrierilor verificate.

În prezent, astrofizica e o disciplina cu dezvoltare exponentiala si eterogenitatea datelor necesita metode specifice de extragere. Datorita îmbunatatirii continue a tehnicilor si metodelor de observare, astrofizica este extrem de bogata în date stiintifice. O prima sursa de date este seria de descrieri sistematice ale cerului în domeniu larg de frecvente ( 10^-7 – 10¹³ eV). Exista mari arhive de date digitale si de asemenea un mare volum de simulari numerice. De aceea, sunt necesare tehnici asemanatoare celor din marketing [1]. În astrofizica, rolul principal al tehnicilor de gestionare a datelor este de a ajuta construirea sau verificarea modelelor fizice bazate pe datele observationale.

O prima problema pe care o întâmpina aplicarea tehnicilor de gestiune este eterogenitatea bazelor de date, datorata multitudinii de parametri utilizati în observatii. O alta problema este faptul ca datele sunt organizate în sisteme operationale în care accentul cade pe normalizare. Obtinerea datelor din multiplele baze de date necesita atât sistem informational cât si un model de gestiune si definirea unui set comun de date, pentru a garanta interoperabilitatea între diferite arhive ca si simplitatea utilizarii setului de date. Tehnicile de extragere sunt mai degraba generale si pot fi utilizate în diferite domenii care necesita baze de date.

Asemenea tehnici presupun:

• Tehnici de grupare, cum este EM (Expectation Maximization) în modele mixte, sau SOM (Self Organizing Maps) , pentru gasirea regiunilor de interes si pentru o prima analiza a acestora, sau SOV (Support Vector Clustering) pentru eliminarea datelor singulare.
• Tehnici de clasificare de tipul arborilor de decizie, ca SVM (Support Vector Machines). Rezultatul clasificarii este apoi utilizat pentru a verifica daca obiectele fizice (galaxiile si clusterii) au fost identificati si daca clasa respectiva de obiecte a fost deja catalogata dupa parametrul de interes utilizat.
• Tehnici de vizualizare, pentru comparare cu tabloul general

În prezent sunt în desfasurare multe proiecte de analiza în spectru larg, cum sunt SDSS, GALEX, ROSAT, FIRST, DENIS etc., cu perspective si mai largi în viitorul apropiat prin programele spatiale AGILE si GLAST si programe bazate pe observare de la sol (MAGIC, HESS, VERITAS, CANGAROO III ). Acestea toate sunt motive în plus pentru organizarea datelor într-o interfata comuna. Deocamdata, multe dintre resursele accesibile prin internet sunt arhive primitive de date, diferite de la arhiva la arhiva. Posibilitatea utilizarii lor revine la a alege una dintre arhive sau, la un nivel superior, constituirea unei arhive – sinteza.

Extragerea datelor presupune treceri repetate prin mari volume de date, ceea ce impune optimizarea accesarii lor. Toate aceste cerinte pot fi îndeplinite prin organizarea unui depozit de date. Acesta poate fi definit ca o colectie integrata de date, orientata pe un subiect si variabila în timp. Integrarea se refera la faptul ca depozitul reprezinta o suma alcatuita din mai multe cataloage sau arhive, diferite, prin conversia diferitor formate sau tipuri la un singur format. Un depozit de date este variabil în timp deoarece utilizarea sa are un orizont estimat la 5-10 ani [1] si presupune aduceri la zi. Intr-un depozit, datele sunt stocate într-o structura menita sa faciliteze accesarea si utilizarea în consens cu tema de cercetare pentru care depozitul este constituit.

In teoria bazelor de date, pentru constituirea unui astfel de depozit se porneste de la o schema relationala tip stea în care se introduc restrictii legate de dimensiuni, ierarhii, masuri. Tabelul central al schemei, cel mai extins, se numeste «fapt» si poate reprezenta setul esential de date pentru fenomenul studiat. Acest tabel e înconjurat de un numar de alte tabele numite «dimensiuni» si care reprezinta entitati legate de fenomenul studiat si care, conectate cu tabelul central, constituie vârfurile «stelei».

În tabelele-dimensiuni parametrii caracteristici entitatilor continute sunt aranjate ierarhic, permitând utilizare lejera prin operatii de drill-down si roll-up pentru fiecare dimensiune. Este cazul, de exemplu, tabelelor-dimensiune care stocheaza clusterii de galaxii clasificati dupa parametrii ca densitate sau lungime de corelatie sau numar de galaxii cuprinse în cluster. Rezultatul este o structura de tip arbore în care utilizatorul poate accesa toate nivelele de la radacina la ultimele dimensiuni, sintetizând (drill-down) sau generalizând (roll-up) dupa necesitate.

Pe de alta parte, accesarea datelor din diferite arhive presupune întelegerea parametrilor utilizati pentru fiecare dintre ele. O problema tipica în acest sens este relevanta datelor cuprinse într-un catalog, daca aceste date respecta un anumit format si cum pot fi ele aduse la acelasi format. Toate aceste detalii descriptive (metadate în limbaj de gestiune) sunt prezentate în introducerea fiecarui catalog sau în studii care analizeaza catalogul sau arhiva respectiva. Metadatele ofera informatii despre mediul în care au fost obtinute datele, tipul de instrument utilizat, metodele de achizitie, estimarea erorilor etc., informatii necesare pentru punerea în acord a arhivelor, normalizarea lor, în vederea construirii depozitului de date.

II.2. Structuri stelare. Galaxii. Determinarea distantelor în univers.

Asociatiile de stele reprezinta agregate stelare complexe formate din sute pâna la sute de mii de stele aflate în interactiune dinamica. Exista doua tipuri de roiuri stelare : deschise si globulare. Roiurile deschise (dispersate) contin pâna la câteva mii de stele si au densitate relativ mica. Observational nu se detaseaza net de fondul galaxiei. Roiurile globulare cuprind sute de mii de stele, densitatea lor depasind considerabil densitatea câmpului galactic.

Roiurile deschise sunt situate în vecinatatea planului galactic, motiv pentru care se mai numesc si roiuri galactice. Se cunosc peste 800 de astfel de roiuri, situate într-op sfera cu raza de câtiva kpc în jurul Soarelui, pâna la distante la care absorbtia luminii nu este suficient de mare pentru a afecta acuratetea observatiilor. Se estimeaza ca numarul total de roiuri din galaxie este de câteva zeci de mii. Cele mai cunoscute roiuri deschise : Pleiadele, Hyadele, roiul dublu din Perseu etc. Dimensiunile roiurilor se deduc din diametrele lor aparente, dupa o relatie asemanatoare celei utilizate pentru razele stelare :

(U.A.)

în care d” reprezinta diametrul aparent al roiului, determinat interferometric , iar p” paralaxa. Se obtin valori cuprinse între 1,5 si 20 pc pentru diametrele liniare. Stabilitatea roiurilor deschise se poate analiza pe baza teoremei virialului

2t+ O = 0

în care t este energia cinetica totala a roiului iar W energia potentiala gravitationala. Masa unui roi deschis se poate determina de asemenea, din aceeasi teorema, daca se cunoaste viteza patratica medie.

Roiurile globulare prezinta o distributie sferica în jurul centrului galaxiei. În numar de câteva sute, ele pot fi bine observate datorita densitatii stelare mari (cu exceptia roiurilor aflate în apropierea planului galactic, unde absorbtia luminii este mare). Distantele la roiurile globulare se determina pe baza distantelor la stelele stralucitoare continute iar pentru dimensiunile lor liniare se obtin valori cuprinse între 7 pc si 120 pc. Aproximativ 2 pc din diametru reprezinta nucleul roiului, de densitati depasind uneori de mii de ori densitatea stelara din zona Soarelui. Desi numite globulare, în realitate roiurile au forma elipsoidala. Un exemplu în acest sens este M19, pentru care raportul dintre axa mare si axa mica este 4. In roiurile globulare s-au descoperit multe surse de radiatie X, fapt care indica stele colapsate cu acretie.

Asociatiile stelare sunt sisteme de stele în care densitatea stelara a unui tip anume este mai mare decât densitatea lor medie în câmpul galactic. Sunt sisteme stelare mai complexe decât roiurile, cuprinzând, pe lânga un mare numar de stele de un anumit tip, chiar roiuri stelare si agregate de materie neorganizata (nori de praf si gaz interstelar). Observatiile arata ca în asociatiile stelare sunt întâlnite mai ales tipuri O-B₂, ceea ce indica desfasurarea unor intense procese cosmogonice, de geneza a stelelor.

Galaxiile, (confundate initial cu nebuloase galactice) definite ca agregate stelare de catre E. Hubble în 1924, au structura asemanatoare cu galaxia noastra: prezinta un nucleu central, densitatea stelara scade de la centru spre periferie si multe dintre ele poseda brate spirale. Dupa Hubble, ele se împart în trei clase: galaxii neregulate, galaxii spirale si galaxii eliptice.

Galaxiile neregulate sunt caracterizate prin lipsa sau slaba evidentiere a nucleului galactic. Prezinta rotatie rapida dar nu în toate cazurile si structura simetrica, iar clasa lor spectrala (A-F) indica faptul ca sunt galaxii tinere. Exemplele clasice pentru aceasta clasa este ansamblul Norilor lui Magellan si M82 (fig. I.1). Notatia M… se refera la catalogul Messier iar notatia NGC… la New General Catalogue.

Galaxiile spirale sunt cele mai numeroase, prezinta un nucleu central bine definit si brate spirale. Pot fi împartite în doua subclase: spirale normale si spirale barate. La galaxiile spirale normale bratele pornesc direct din nucleu, putând avea diferite grade de desfasurare. Galaxia noastra si Marea galaxie din Andromeda (M31) sunt exemple de astfel de galaxii. Spiralele barate au caracteristica o prelungire radiala a nucleului, de la extremitatile careia pornesc bratele spirale. În general, galaxiile spirale au spectre de tip F sau G, indicând o evolutie mai îndelungata decât cea a galaxiilor neregulate.

Galaxiile eliptice au forma unor elipsoizi, prezentând diferite turtiri. Spectrele lor sunt de tipul G-K, indicând faptul ca stelele continute sunt în majoritate din clase spectrale târzii.

O clasa speciala de obiecte cosmice o reprezinta quasarii. Descoperiti în 1963 (Schmidt), quasarii au în domeniul optic aspect stelar dar prezinta emisie foarte intensa în domeniul radio, de unde si denumirea lor (quasistellar radio sources) În spectrele quasarilor se identifica de asemenea linii în infrarosu si radiatie X, linii de emisie caracteristice nebuloaselor difuze si linii de absorbtie de rezonanta. Liniile spectrale provenite de la quasari prezinta o mare deplasare spre rosu (z>3, adica o viteza de recesie de 260 000 km/s) ceea ce duce la ideea ca aceste obiecte sunt cele mai îndepartate observabile si implicit cele mai vechi. Distributia lor poate oferi informatii despre structura Universului de acum 18 10⁹ ani. Cel mai apropiat quasar este 3C273 (Catalogul Cambrige vol.3), situat la o distanta de 500 Mpc. Prin comparatie cu luminozitatea galaxiilor gigante situate la aceeasi distanta, se determina energia emisa de un quasar. Ea ajunge la 10³⁷W în domeniul radio, valoare comparabila cu a radiogalaxiilor.

Cu ajutorul interferometrelor s-au masurat diametrele unghiulare ale quasarilor, obtinându-se valori foarte mici, care indica diametre liniare de ordinul zecilor de parseci. Masele quasarilor au însa ordinul de marime de 10⁹ M_*. În multe privinte, quasarii se aseamana cu nucleele galaxiilor Seyfert, prezentând curenti intensi de materie si eruptii puternice în domeniul optic si radio. La unii dintre ei se observa nori de materie expulzata. Natura fizica a quasarilor nu este înca pe deplin cunoscuta, în principal datorita emisiei extrem de intense de energie. Cel mai utilizat model considera quasarii ca un tip particular de galaxii, în care energia este emisa prin acretia materiei pe gauri negre centrale supermasive.

Fata de quasari care prezinta în general aceleasi caracteristici, galaxiile, chiar de acelasi tip, pot sa difere mult dupa luminozitate, mase, dimensiuni. Astfel, dimensiunile liniare ale galaxiilor variaza între câtiva zeci de parseci (galaxii neregulate pitice) si 30-35 kpc (galaxii spirale si eliptice).

Magnitudinea absoluta se determina pe baza distantei si a magnitudinii aparente, obtinându-se valori cuprinse între 0,2^m si 21^m .

Rotatiile galaxiilor se pot determina prin compararea deplasarilor liniilor spectrale pentru diferite parti ale galaxiei studiate. Se constata astfel ca galaxiile se rotesc în sensul înfasurarii bratelor spirale cu perioade de ordinul 10⁸ ani. Aceeasi perioada de rotatie o prezinta nucleele, galaxia rotindu-se ca un corp rigid.

Masele galaxiilor se determina pe baza vitezelor de rotatie ale partilor exterioare. Se poate considera, cu aproximatie suficient de buna, ca rotatia respecta legile lui Kepler. Astfel, egalând acceleratia centrifuga cu acceleratia gravitationala, rezulta masa galaxiei

în care v reprezinta viteza tangentiala, R raza galaxiei iar G constanta atractiei universale. Un caz aparte îl constituie galaxiile duble a caror mase se pot determina folosind miscarea de revolutie a fiecareia, vitezele fiind mai precis determinate, pe baza efectului Doppler, decât la galaxiile izolate. Majoritatea galaxiilor observate au mase între 10⁹ si 10¹² mase solare. (în medie, 2 10⁴¹ kg)

Nucleele galactice sunt mai putin studiate datorita dificultatii induse de absorbtia luminii, dar par sa joace un rol determinant în evolutia galaxiei: nucleelor le revin câteva zeci de procente din energia totala emisa de galaxii. De asemenea, nucleele galactice prezinta linii – atât de emisie cât si de absorbtie – mult mai intense decât restul galaxiei. Prin efect Doppler s-au pus în evidenta curenti de plasma în interiorul nucleelor galactice, unii extrem de intensi, ajungând pâna la 3 kpc de nucleu. Exemple de galaxii cu nuclee extrem de active sunt galaxiile Seyfert (unde curentii de plasma prezinta viteze mai mari decât viteza de evadare din galaxie) si galaxiile eruptive (M82).

Cea mai apropiata galaxie si cea mai studiata (exceptând galaxia noastra) este Marea Galaxie din Andromeda (M31). Bratele spirale ale acesteia au sugerat existenta bratelor spirale ale galaxiei noastre, confirmata ulterior. Ea se gaseste la o distanta de 2,5 10⁶ ani-lumina si are un diametru de 120 000 ani-lumina. Distanta s-a determinat cu ajutorul cefeidelor iar diametrul liniar-din cel unghiular. Mai mare decât galaxia noastra (al carei diametru liniar de-a lungul axei mari este de aproximativ 100 000 ani-lumina), galaxia din Andromeda are o masa de peste 3 10¹¹ mase solare si contine aproximativ 400 miliarde de stele. Galaxia noastra si M31 fac parte din grupul local de galaxii, care cuprinde 19 membri.

Caracteristicile lor sunt date în tabelul de mai jos.

Exista numeroase metode de determinare a distantelor galaxiilor, functie de posibilitatile de observare si de determinare a diferitor parametri. Astfel, avem:

Metode cinematice, pentru galaxii relativ apropiate. Metoda paralaxelor folosita la determinarea distantelor stelare functioneaza aici pentru galaxii aflate pâna la 150 pc. Peste aceasta distanta paralaxele nu mai pot fi masurate direct. O metoda de calcul care presupune utilizarea curentilor stelari poate conduce la determinarea acestora din calcul, rezolvând problema pentru distante de pâna la cca. 10⁵ parseci, functie de galaxie.

Metoda cefeidelor. Cefeidele sunt stele suficient de stralucitoare încât sa poata fi distinse din câmpul galactic al altor galaxii. Din observatii asupra perioadei cefeidei se poate determina magnitudinea absoluta si, din relatia dintre magnitudini si distanta, se determina distanta. Metoda cefeidelor poate fi aplicata pentru distante de pâna la 10⁶ pc.

Fenomenul de deplasare spre rosu poate fi utilizat, în conditiile în care se accepta ca decalajul spectral se datoreaza efectului Doppler indus de expansiune. Masurând deplasarea spre rosu a spectrului galaxiei vizate, rezulta viteza radiala a galaxiei,

deoarece observatiile nu au pus în evidenta viteze tangentiale semnificative ale galaxiilor, aceasta este viteza totala. Conform legii lui Hubble apoi, se poate determina distanta la galaxie

r = cz/H

cu H=60-70 km/(s Mpc) – constanta lui Hubble.

De observat aici este faptul ca pentru galaxii îndepartate (z>0,1) trebuie luat în calcul efectul Doppler relativist, cu

Pentru un calcul mai exact trebuie de asemenea luate în considerare efectul de curbura a universului (functie de modelul considerat), absorbtia luminii în mediul intergalactic, evolutia (pierderea de masa) a galaxiilor în timp, încetinirea/accelerarea expansiunii universului.

II.3. Aspectul Universului la scala mare

În 1978, Joever si Einasto au sugerat ca distributia la scala mare a galaxiilor reprezinta o structura celulara, în care clusterii sunt legati unii de altii prin filamente. La acea epoca, datele erau înca incomplete. În anii 80, cercetari cum este CfA redshift survey [9] au adus în atentia astronomilor mari formatiuni de galaxii cum este marele gol din Bootes sau marele zid din Pisces-Perseu. În prezent, reprezentarile în spatiul deplasarilor spre rosu arata o structura asemanatoare spumei de barbierit, caracterizata de regiuni lipsite de galaxii, net delimitate, separate prin regiuni, “pereti” de concentratie mare a galaxiilor. Aceste caracteristici se întind la toate scalele de analiza, ajungând la dimensiuni de 150 Mpc (clusterul din Coma) sau 80 Mpc (diametrul golului din Bootes) [8,10].

Fig.II.3.1 Distributia la scala mare a galaxiilor (Catalogul Californiei).
Sunt reprezentate 22.000 galaxii, în coordonate ecuatoriale, pâna la o adâncime cz=20.000km/s

În figura II.3.1. sunt reprezentate în proiectie pe planul coordonatelor (a,d) pozitiile galaxiilor cuprinse în Catalogul Californiei (CfA2). Se observa structuri de forma unor filamente- generate de juxtapunerea peretilor de galaxii – si clusteri la toate scalele, de la grupuri de 2 galaxii la clusteri cuprinzând sute de galaxii, întelegând prin “cluster” un grup de galaxii în care separarea spatiala dintre cele învecinate nu depaseste distanta de clusterizare r₀=5 h ^-1 (Mpc), cu h constanta redusa a lui Hubble.

Aspectul distributiei galaxiilor la scala mare sugereaza o structura fractala. Conceptul de fractal a fost introdus de Mandelbrot în 1975, pentru a permite studiul matematic al proprietatii sistemelor neregulate. Conform definitiei lui Mandelbrot [5], un obiect este fractal daca prezinta urmatoarele proprietati:

• este foarte neregulat sau fragmentat
• este constituit din elemente caracteristice care se regasesc la diferite scale de analiza
• prezinta proprietatea de autosimilaritate sau autoafinitate.

Ultima proprietate se refera la posibilitatea descompunerii repetate în parti care reproduc întregul (autosimilaritate) sau care se aseamana întregului (autoafinitate). Astfel, sunt autosimilari fractalii regulati [6] si autoafini unii fractali aleatori, cum sunt drumurile de percolatie dar si distributia galaxiilor la scala mare.

Structurile fractale sunt caracterizate prin clusteri si goluri la toate scalele si sunt, ca o caracteristica intrinseca, non-analitici: comportarea lor la scala este descrisa de o lege de puteri.

Din punct de vedere matematic, prin “fractal” se întelege o multime a carei dimensiune Hausdorff este mai mare decât dimensiunea topologica.

Dimensiunea topologica pentru o distributie de puncte reprezinta numarul minim de coordonate necesare pentru a preciza pozitia unui punct al distributiei.

Metoda cea mai simpla de determinare a ariei A închise de o curba S este de a acoperi suprafata cu patrate de latura a foarte mica si de a efectua suma. Extinzând aceasta abordare (dupa Caratheodory – 1914) un rezultat mai bun se obtine prin înlocuirea patratelor cu discuri de raza r, prin faptul ca definitia discului ramâne valabila chiar daca spatiul nu este euclidian, cu conditia sa poata fi definita o metrica. Aria se determina prin sumarea dupa numarul de discuri necesare pentru a acoperi suprafata. Mai general, daca consideram un spatiu D-dimensional, vom suma expresii de forma g(d)r^d în care g depinde de metrica spatiului.

Dimensiunea asociata unui obiect fractal poate fi calculata prin diferite metode. Cel mai des utilizata dintre acestea, pentru structurile la scala mare în astrofizica, este metoda functiei de corelatie binara x (r), definita [12] prin

(II.1)

si legata de dimensiunea fractala (Hausdorff) D prin relatia

(II.2)

cu r₀ – distanta de clusterizare. Daca D are valoare fractionara, distributia este fractala.

Functia de corelatie binara este de asemenea o marime statistica adecvata pentru caracterizarea gradului de neomogenitate sau de clusterizare pentru distributia galaxiilor, indicând probabilitatea de a gasi în distributie o pereche de galaxii, fiecare dintre ele într-un volum dV_i separate de o distanta r, raportata la o distributie aleatoare. Ea a fost determinata pentru prima data în 1977 (pentru r < 15h^-1 pc) de Groth si Peebles, care au gasit o relatie de forma

(III.3).

acest rezultat arata o clusterizare puternica a galaxiilor la scale de pâna la 15h^-1 pc si permite stabilirea valorii de 5h^-1pc pentru distanta de clusterizare. Dupa N. Bahcall [11] transformate Fourier (spectrul de puteri) a functiei de corelatie binare a galaxiilor prezinta similitudini cu spectrul fluctuatiilor primare în densitate relevat de CMBR.

Pentru r₀=0.005 (în unitati de calcul) ; a: pentru clusteri mici (M<100), relatia dintre n si M este o scadere exponentiala. Cu exponentul x/0.6 b: În coordinate logaritmice, dependenta liniara are panta b=-2.145, cu o eroare de 0,106.

La scala mai mare (comparabila cu 50h^-1 Mpc)se constata de asemenea o puternica corelare a clusterilor de galaxii, mai mare chiar decât a galaxiilor individuale (cu un ordin de marime). Gradul de corelare a clusterilor creste cu luminozitatea (sau masa) dupa o lege liniara. Acelasi tip de dependenta o gasim de altfel între gradul de corelare si distanta de separare dintre clusteri. Din analiza cataloagelor de date se regaseste forma pentru functia de corelatie binara, cu A_i = cst N_i= (0,4 d_i)^1,8, cu d_i – separatia spatiala medie dintre clusteri iar N_i – numarul de galaxii dintr-un cluster de tip “i”. Aceasta relatie arata ca numarul de clusteri depinde invers proportional de marimea clusterului, aratând invarianta la scala a distributiei materiei. Legea de puteri de mai sus poate fi verificata considerând un esantion convenabil de galaxii si determinând dependenta numarului de clusteri de marimea clusterului. În fig. II.3.2 este reprezentat un astfel de esantion, selectat din Catalogul Californiei. Esantionul contine 5840 de galaxii din regiunea Coma Berenices-Virgo, cu 8^h < a < 17^h si cu o adâncime de 400 Mpc. Algoritmul utilizat separa si contorizeaza clusterii functie de marimea lor exprimata prin numarul de galaxii continute astfel încât se poate determina functia n = f(M) în care n reprezinta frecventa de aparitie a clusterilor cu M_i galaxii, definita prin

(II.4)

cu N_i – numarul de clusteri care contin M_i galaxii iar M_i-1 cel mai mare ordin inferior lui M_i . Invarianta la scala este indicata de faptul ca rezultatele obtinute sunt similare pentru diferite distante de separatie între galaxii. Asa cum este de asteptat, se constata ca, odata cu cresterea ordinului (marimii) clusterului, numarul de clusteri scade. Cu alte cuvinte, sunt mai numeroase galaxiile izolate decât grupurile mici de galaxii si mai numeroase grupurile mici decât clusterii mari etc. de exemplu, pentru r₀ = 5h^-1 Mpc, avem 401 grupuri de doua galaxii, 119 grupuri de trei galaxii, 61 de 4 galaxii etc.

Acelasi rezultat se obtine utilizând o valoare mai mica pentru distanta de separatie care defineste clusterul.

Figura II.3.4. ilustreaza dependenta frecventei clusterior de marimea lor, în coordonate logaritmice, pentru r₀ = 25h^-1Mpc, distanta care defineste clusteri mai rarefiati. Coincidenta valorilor pantelor celor doua dependente este evident un rezultat al autoafinitatii distributiei.

Interesant este faptul ca astfel de functii, (de tip 1/frecventa) sunt caracteristice sistemelor cu evolutie haotica cum ar fi zgomotele la contactele electrice, oscilatiile polilor magnetici, distributia dupa magnitudine a cutremurelor.

Aceeasi analiza poate fi facuta luând în considerare masele clusterilor de galaxii, rezultatele indicând de asemenea invarianta la scala [2]. Mai mult, functia masica pare a se corespunde cu spectrul fluctuatiilor primare în densitate. Apare astfel ideea ca aglomerarile de galaxii s-au format prin condensare pe defecte topologice initiale, respectând structura acestora.

O importanta problema este corespondenta dintre distributia materiei luminoase si distributia masei. Cu alte cuvinte, se pune întrebarea daca distributia galaxiilor luminoase este – cel putin în medie – aceeasi cu distributia masei în univers astfel încât rezultatele analizei asupra distributiei galaxiilor observate sa poata fi extinse asupra distributiei masice.

III. DETERMINAREA DIMENSIUNII FRACTALE A DISTRIBUTIEI GALAXIILOR

Dimensiunea fractala a distributiei galaxiilor joaca un rol determinant în caracterizarea acesteia si constituie un factor-cheie în verificarea modelelor si simularilor care încearca sa reproduca structura la scala mare. Mai mult, consecintele existentei unei structuri fractale a distributiei materiei în univers, dupa unii autori, ar putea aduce o revelatie privind structura la scala mare a spatiu-timpului, respectând Teoria Generala a Relativitatii. În plus, legaturile dintre teoria fenomenelor neliniare si reprezentarile fractale ale dinamicilor acestor fenomene în spatiul fazelor, cu sectiuni Poincare asemanatoare cu distributia galaxiilor au generat idei legate de o posibila evolutie haotica a universului, cu consecinte corespunzatoare asupra formarii structurilor [12]. De asemenea, se ridica sub o forma noua problema determinarii densitatii medii a Universului, mai precis a justetii determinarii acesteia utilizând un spatiu tridimensional pentru raportare [15]

Utilizând bazele de date accesibile, calculul dimensiunii fractale a distributiei galaxiilor se face numeric, prin doua posibile metode.

III.1. Metoda functiei de corelatie binara

În baza definitiei din cap. II (relatia II.1), functia de corelatie binara este interpretata ca o masura a “excesului” de perechi de galaxii separate de o distanta data r, pe care îl prezinta distributia analizata fata de o distributie uniforma. Numarul de perechi de galaxii (cu o galaxie în elementul de volum dV₁ si a doua în elementul de volum dV₂) separate prin distanta r, este [13]

(III.1),

cu o rezerva la scala mica (de ordinul câtorva kpc) datorata caderii sub limita minima de separatie dintre galaxii si cu o predictie de a obtine o corelatie zero la o scala care atinge sau depaseste o eventuala limita de omogenitate (peste care Universul devine omogen) sau limita esantionului analizat. Perechile de galaxii pot fi considerate atât în coordonate ecuatoriele – caz în care este considerata separatia unghiulara – cât si în coordonate carteziene sau în proiectie ecuatoriala, caz în care separatia r este distanta liniara. Functia de corelatie unghiulara, tridimensionala, a fost introdusa de Limber în 1954 si poate fi calculata fara a fi necesare corectii doar pentru z <<1. pentru esantioane care contin galaxii îndepartate este necesara considerarea expansiunii universului, evolutia în timp a configuratiei clusterului (dupa vitezele peculiare) etc. Dezavantajos este de asemenea faptul ca functia astfel definita este sensibila la erorile date de determinarea distantelor la galaxii pe baza deplasarii spre rosu. O solutie este utilizarea functiei de corelatie a proiectiei distributiei, care este mai putin afectata de erorile de determinare a distantelor. Functia de corelatie a proiectiei se defineste prin

(III.2)

unde r_p este distanta (în proiectie) dintre perechea de galaxii (i,j).

cu din (II.2), ecuatia (III.2) capata forma

(III.3)

cu C un factor numeric care depinde de panta g.

În practica, utilizând esantioane din cataloagele de date, se porneste de la faptul ca, conform relatiei III.1, numarul de “vecini” ai unei galaxii, aflati într-o sfera de raza r centrata în galaxie creste cu raza dupa o lege de forma ; densitatea medie este atunci proportionala cu r^3-D si D poate fi determinata din pantele acestor functii în coordonate logaritmice. Analizând distributia galaxiilor cuprinse în zona Pisces-Perseu (22^h < a < 4^h, 0⁰ < d < 45⁰ , cz<8000 km/s ;1092 galaxii), se observa doua domenii de invarianta la scala, cu o trecere între ele la aproximativ 110Mpc. Dimensiunile fractale corespunzatoare sunt D₁=1,2 respectiv, pentru scala mare, D₂=2,2 Mpc. La distante foarte mari, de peste 500Mpc, functia de corelatie devine o constanta apropiata de unitate, indicând aspect omogen. Valorile diferite obtinute pentru dimensiunea fractala pot indica diferite regimuri de neomogenitate functie de scala, dar diferenta se poate datora de asemenea largimii mari a esantionului si lipsei datelor în regiunea ocupata de Calea Lactee [16].

III.2. Metoda boxelor (a cadrilajului)

Metoda boxelor elimina problemele legate de limitarea esantionului de date, de efectele la margine si de erorile care apar la transformarea distantelor unghiulare în separatii liniare. În plus, calculul numeric este mult simplificat, presupunând mai putine treceri prin esantionul de date. De asemenea, analiza tridimensionala a setului de date este mult mai simpla. Metoda cadrilajului presupune suprapunerea, peste setul de date, a unei grile rectangulare ale carei celule (patrate pentru proiectie si cubice pentru distributia spatiala) au latura e variabila în cursul rularii programului. Se contorizeaza numarul N(e) de celule de latura e care contin cel putin o galaxie dupa care se modifica valoarea lui e si se reia algoritmul. Dimensiunea fractala este data de panta dreptei de ajustare a functiei N(e), conform relatiei [17].

(III.4)

Esantionul de galaxii analizat a fost extras din Catalogul Californiei si cuprinde 850 galaxii cu cz<15000 km/s în zona Coma Berenices – Virgo, cu declinatia 26,5⁰<d<32,5⁰ si ascensia dreapta 8^h < a < 12^h. Pentru normalizare, coordonatele au fost transformate în coordonate carteziene, folosind sistemul de coordonate galactic.

Figurile III.1 si III.2 ilustreaza rezultatele analizei proiectiei în plan (xoy) -planul galactic-, respectiv a repartitiei spatiale a galaxiilor. Dimensiunea fractala a proiectiei este de D_p=1,19 iar pentru distributia spatiala, D_s= 2,1.

Rezultatele obtinute pentru dimensiunea fractala sunt în buna concordanta cu analizele consacrate, în care valorile variaza între 1,9 si 2,2.

IV. IMPLICATII ÎN COSMOLOGIE

În analiza distributiei la scala mare a galaxiilor au fost stabilite doua legi empirice. În primul rând, distributia spatiala a galaxiilor si clusterilor este caracterizata de mari goluri înconjurate de pereti de galaxii, prezentând corelatii fractale pâna la limita regiunii în care avem date. Acest lucru confirma legea – mai veche – a lui de Vaucouleurs – o relatie de putere între distanta si densitate care corspunde unei structuri fractale de dimensiune între 2 si 3 în domeniul 1-200 Mpc.

În al doilea rând, legea liniara a lui Hubble care leaga deplasarea spre rosu de distanta, bine stabilita pâna – si peste – 200 Mpc, ca o consecinta stricta a expansiunii omogene a Universului. De altfel, ipoteza de baza a cosmologiei standard este Principiul Cosmologic care reprezinta, de fapt, postularea omogenitatii si izotropiei spatiale a universului la scala mare [3]. Omogenitatea distributiei materiei joaca un rol central în modelele de univers cu expansiune deoarece ea implica proportionalitate exacta între viteza de recesie a galaxiilor si distanta, fapt în acord cu legea Hubble. În sens invers, aceasta înseamna ca legea lui Hubble este valabila la scale pentru care distributia materiei poate fi considerata constanta [4].

Mult timp, astronomii au studiat modele ale structurilor la scala mare utilizând proiectii bidimensionale, fara observatii directe în a treia dimensiune. Recent, descrieri ale distributiei tridimensionale (KOSS, CfA) au aratat ca structurile fractale sunt comune în universul local.

Acceptarea unei dimensiuni fractale de implica însa abateri de la legea liniara a lui Hubble, cel putin la scala la care apar neomogenitati, ceea ce pare o inconsistenta a modelului standard. Da altfel, în paralel cu ideea de omogenitate a universului au existat în istoria astronomiei alternative cum este cea a structurii ierarhizate a universului lansata de Swedenborg, Kant si Lambert. Ei au imaginat un tablou în care ierarhizarea pornea de la stelele grupate în roiuri constituind la rândul lor galaxii, acestea formând sisteme mai mari, totul continuând indefinit (Kant) sau oprindu-se la un anumit nivel (Lambert). Aceasta idee a fost reluata de Fournier d’Albe si Charlier care au abordat o ierarhie determinata proportionalitatea între masa si distanta. În 1970, de Vaucouleurs a studiat (preluând o idee din 1938 a lui Carpenter) posibilitatea existentei unei relatii de puteri între densitate si distanta, ca factor de baza în cosmologie, reflectând o distributie ierarhizata. El a sugerat o lege de forma

in care rr_l si r_l reprezinta raza si densitatea la cel mai mic nivel al ierarhiei. g este exponentul de corelare sau co-dimensiunea fractala, legata de dimensiunea Hausdorff prin

g =3-D

de remarcat este aici faptul ca ecuatia lui de Vaucouleurs e valabila pentru orice punct din univers. Altfel spus, fata de orice punct densitatea masica scade cu distanta.

A doua lege empirica considerata, legea lui Hubble, poate fi scrisa sub forma

cz = H₀r

în care reprezinta deplasarea relativa spre rosu a spectrului observat iar H₀ este constanta lui Hubble.

Daca deplasarea spre rosu este interpretata ca un efect al miscarii relative, atunci legea lui Hubble poate fi scrisa

u = H₀r

în care u este viteza galaxiei-sursa.

De la descoperirea ei, legea lui Hubble a fost verificata pentru toate intervalele de distanta accesibile observatiilor ( de la z=0.1 la z = 1). S-a constatat astfel [4] ca exista mici deviatii du de la viteza u_H data de legea lui Hubble, deviatii legate de concentrari de masa cum este marele cluster din Coma sau Pisces-Perseu. Marimea acestor perturbatii nu este la prima vedere semnificativa, fiind de ordinul du/u_H @ 0,1 dar este interesant de comparat spectrul lor cu spectrul clusterizarii la scala. Ca si legea de Vaucouleur, legea lui Hubble nu este particulara galaxiei noastre, ci poate fi generalizata la orice punct din Univers. Aceasta este de altfel ideea de baza a modelelor cu expansiune. Ca rezultat, micile fluctuatii trebuie sa fie de asemenea o caracteristica generala: structura si cinematica grupului local de galaxii trebuie sa fie tipice si pentru alte grupuri mici.

Prin urmare, legile Hubble si de Vaucouleurs, descriind aspecte diferite ale universului, au în comun universalitatea si independenta fata de observator; acest lucru le imprima caracter de legi fundamentale ale investigatiei în cosmologie. Existenta lor trebuie însa racordata. Exista propuneri pentru o lege a lui Hubble neliniara [7], asa cum exista si încercari de a restrânge caracterul universal al legii de Vaucouleur la anumite intervale de distante, cu alte cuvinte de a considera ca, de la o scala data, universul devine omogen [4].

BIBLIOGRAFIE

[1] M. Frailis, A. de Angelis, V. Roberto: Data management and mining in astrophysical databases, arXiv: 0307032, 16 iul. 2003

[2] N.A. Bahcall: Large scale structure in the Universe, arXiv: astro-ph/9612046 dec. 1996

[3] J.M.Ponty Cosmologia secolului XX

[4] Z.Baryshev s.a., On the fractal structure of galaxy distribution and its implications in cosmology, arXiv: astro-ph/9803142 mar. 1998

[5] B.B. Mandelbrot: Fractals: forms, chance and dimensions, w:st=”on”San Francisco, 1989

[6] O. Groza, Aplicatii ale analizei fractale în geografie: Revista stiintifica ?V. Adamachi”, vol. II, nr.3 (1994)

[7] D. Segal, Matematical Cosmology and Extragalactic Astronomy, Academic Press, NY 1976

[8] M. Geller, J.P.Huchra, V. de Lapparent : The large scale structure. The Center for Astrophysics redshift survey, IAU Symp. 124: Observational Cosmology, 1987

[9] J.P.Huchra, M. Geller, V.de Lapparent: The CfA redshift Survey: data for NGP +30 zone, Ap. J. Suppl. S72: 433-470 (1990)

[10] M. Geller, J.P.Huchra : Mapping the Universe, Science, vol. 246: 897-904, Nov. 1989

[11] H.J.de Vega s.a.: The fractal structure of the universe, arXiv:astro-ph/9801224 (ian.1998)

[12] S. Gottlober s.a. Early Evolution of the Universe and Formation of Structures, w:st=”on”Akademie-Verlag, Berlin

[13] S.Phelps, K.Meisenheimer: The evolution of galaxy clustering since z=1, arXiv: astro-ph/0306505 (iun.2003)

[14] J. Perez – Mercader, A two-exponent mass-size power law for celestial objects : arXiv: astro-ph/9608168 (aug.1996)

[15] G. Iovane s.a., Stochastic self-similar and fractal universe, arXiv: astro-ph/0308370 (aug.2003)

[16] L. Guzzo s.a., Scale-invariant clustering in the large scale distribution of galaxies, Ap.J., 382, L5 (1991)

[17] J.P.Gollub, G.L.Baker, Chaotic Dynamics – An Introduction, w:st=”on”Cambrige Univ. Press

Prof. dr. Radu Murdzek